Infinitos

Uma coisa que me impressiona é a forma como em matemática se pode ver o infinito. Quantos infinitos existem? Será que a pergunta faz sentido?

Considere-se o conjunto dos inteiros, os números: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Este conjunto tem infinitos elementos. Considere-se o conjunto dos racionais, constituído por números como 1/2, 1/3, 5/2, 10/2000, etc. Este conjunto tem também infinitos elementos.

Os racionais têm uma outra propriedade que os inteiros não têm: entre cada dois números, há um outro. Por exemplo: entre 1 e 2 há, por exemplo, 1/2. Entre 1 e 1/2 há 1/4. Entre 1 e 1/4 há 1/8, etc. Contudo, entre 1 e 2 não há nenhum outro número inteiro.

Isto poderia levar a pensar que o número de racionais que existem é maior que o número de inteiros que existem. Mas isto não é assim. Porquê? Porque se pode colocar cada um dos inteiros ao lado de cada um dos racionais, sem deixar nenhum racional de fora (e sem repetir inteiros). Assim, os inteiros dão conta de todos os racionais, e por isso o conjunto dos racionais não pode ter mais elementos que o conjunto dos inteiros.

Para que se veja como se pode fazê-lo, vejam a figura:

Seguindo as setas, podemos começar a contar os racionais. Ao lado do racional 1/1 colocamos o inteiro 1, ao lado do racional 2/1 colocamos o inteiro 2, ao lado do racional 1/2 colocamos o inteiro 3, ao lado do racional 1/3 colocamos o inteiro 4, ao lado do racional 2/2 colocamos o inteiro 5, ao lado do racional 3/1 colocamos o inteiro 6, etc. Assim, seguindo o esquema, podemos colocar cada um dos naturais ao lado de cada um dos racionais. O esquema dá-nos um método para fazê-lo, garantindo que nenhum racional vai escapar.

Como é que sabemos que nenhum racional vai escapar? Atente-se às linhas da figura. A primeira linha é constituída pelos números 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, etc. Para qualquer número natural n, o número racional 1/n vai estar na primeira linha. A segunda linha é constituída pelos números 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, etc. Para qualquer número natural n, o número racional 2/n vai aparecer na segunda linha. Assim, para quaisquer números naturais n e m, o número racional m/n vai aparecer na posição n da linha m. Uma vez que todos os racionais são da forma m/n, a sua presença na figura (ou no seu prolongamento para a direita e para baixo) está garantida. Uma vez que o método permite-nos colocar um número natural ao lado de qualquer número que apareça na figura, e não há nenhum racional que não apareça na figura, é possível colocar um natural ao lado de cada um dos racionais, sem repetir nenhum dos números naturais. Os inteiros "dão conta" de todos os racionais.

Assim, ainda que entre dois números racionais haja sempre um no meio, os racionais não têm mais elementos que os inteiros. Será que há mais inteiros que racionais? Também não, uma vez que ao lado do inteiro 1 podemos colocar o racional 1/1, ao lado do inteiro 2 podemos colocar o racional 2/1, ao lado do inteiro 3 podemos colocar o racional 3/1, ao lado do inteiro 4 podemos colocar o racional 4/1, etc. Ambos os conjuntos têm o mesmo número, infinito, de elementos.

Já agora, o mesmo não acontece entre, por exemplo, os números inteiros e os números reais (números como 1, ou como 1.11111111 ou 3.1415926...). Por isso, há mesmo infinitos que são uns maiores que os outros.